Para Atma Oyunu

Olasılık konusuna olan ilgim blogdaki birkaç yazıya göz atarak anlaşılabilir. Yine ilk gördüğümde hoşuma giden bir soruyu burada paylaşacağım.

Soru şöyle:

Bir yazı tura atma deneyi yaptığınızı düşünün. Amacınız üst üste Yazı – Tura – Yazı atmak. Yazı – Tura – Yazı atışını yakalayana dek parayı atmaya devam ediyorsunuz. Örneğin şöyle denemeler yapmış olabilirsiniz:

YYTTYYTTYTTYTY

YYTY

TTYTTYTY

Kısaca YTY dizilimini yakaladığınız an para atma deneyine son veriyorsunuz. Peki bu dizilime ulaşmak için parayı kaç kere atmanız gerekti? Örnekteki 3 deney için sayılar 14, 4 ve  8. Bu deneyi çok sayıda yaptığınızı ve ortalama olarak n. adımda deneyin sonuçlandığını söyleyelim.

Bir de aynı deneyi biraz değiştirerek tekrar tasarlayalım. Yine belli bir dizilim yakalamak peşindesiniz ve bu dizilimi bulunca deneyi sonlandırıyorsunuz. Bu kez yakalamak istediğiniz dizilim Yazı – Tura – Tura olsun. Bunun için örnek 3 deney şöyle olabilir:

TTYTYYYYTYTT

YTYTT

YYYYYTYYYTT

Bu 3 deneyin üçü de YTT ile sırayla 12, 5 ve 11. adımlarda sonlanıyorlar. Bu deneyi de çok sayıda yaptığınızı ve ortalama olarak m. adımda deneyin sonuçlandığını söyleyelim.

Soru şu:

n, m’e eşit midir? Değilse aralarındaki büyüklük-küçüklük ilişkisi nedir?

– diğer bir deyişle –

YTY yakalamaya çalışma deneyi ile YTT yakalamaya çalışma deneyi ortalama olarak aynı adımda mı biter? Değilse hangi deney daha önce biter? (Hangi dizilimi elde etmek için parayı ortalama olarak daha az atmak yeterlidir?)

Cevap

Buraya kadar okumuş herhangi birinin cevap kısmına gözünün kayması ile soru üzerine düşünme fırsatını yitirmemesi için ilk cümlem pek bir şey ifade etmesin istedim. Cevabı öğrenmekte ısrarlı okuyucu sonraki paragrafa atlayabilir :).

Pek çok insan parayı 3 kez attıklarında YTY veya YTT gelmesi olasılığı birbirine eşit olduğundan bu iki deneyin de ortalama olarak aynı adımda biteceğini düşünür. Ama yanılırlar :). YTT yakalama deneyi ortalama olarak daha erken biter. Basitçe izah etmeye çalışayım:

YTT deneyinde herhangi bir adımda Y ve T’yi ardı ardına attığınızı düşünün. Şimdi tek ihtiyacınız olan bir T daha ve deney bitmiş olacak! Ama talihsizliğe bakın ki Y attınız. Deneyiniz sonlanmadı, ancak bir sonraki YTT’yi oluşturmak için gerekli yolun 1/3ünü kat ettiniz bile!

Peki ya YTY deneyinde? Yine Y ve T’yi ardı ardına attığınızı düşünün. Bir Y daha ve deney tamamlanmış olacak! Ama şanssız gününüzdeymişsiniz ki T geldi. Şimdi tekrar YTY oluşturmaya başlamak için parayı en az bir kere daha atmanız gerek (gerçi şanssız gününüzdesiniz, daha fazla atmanız da gerekebilir :) ).

Bir ara vakit bulabilirsem hangi dizilimin diğerine göre daha önce geleceğini hesaplayan programı yazmayı düşünüyorum. Bir de bu konuyu araştırırken nontransitive game‘in ne olduğunu öğrendim, kısaca şöyle izah edeyim: Ortalama olarak A dizilimi B’den önce, B dizilimi de C’den önce geliyorsa A diziliminin C diziliminden önce gelmesi gerekmez, hatta C dizilimi A’dan önce geliyor olabilir. Şaşırtıcı ama mantıklı. Kağıt > Taş ve Taş > Makas olmasına rağmen Kağıt < Makas olması gibi bir durum yani :).

Also read...

Comments

Leave a Reply