Bir Olasılık Sorusu

Okul başladı, güzel de oldu. İlk dersim (evet ona da geç kaldım elbette) İşletme Matematiği idi. Ders zevkli geçecek gibi görünüyor. İnsanı düşünmeye yönelten birkaç soru ile geçti ilki. Oradaki sorulardan biri üzerine birazcık bir şeyler yazmak istiyorum. Sonrasında da sorunun biraz daha zorlaştırılmış halini irdeleyeceğim. Zira olasılık ve istatistik problemleri üzerine düşünmekten zevk aldığım şeylerden biri.

Soru

3 kişi hepsi aynı yöne bakacak şekilde bir sıraya giriyor. En arkadaki önündeki iki kişiyi, ortadaki en öndeki kişiyi görüyor, en öndeki ise kimseyi göremiyor.

2 mavi, 3 kırmızı şapkamız var. En arkadaki kişiye şapkasının rengi sorulduğunda “Bilmiyorum” diyor. Ortadakine sorulduğunda o da “Bilmiyorum” diyor. En öndekine sorulduğundaysa şapkasının rengini doğru şekilde söyleyebiliyor. En öndeki şapkasının rengini nasıl bilmiştir ve şapkası ne renktir?

Cevabı burada söyleyeceğim, zira sınıfta bulmamız da pek uzun sürmedi. Cevabı hemen okumayıp biraz düşünmek isteyenler ise burada bir soluk alabilir.

Cevap

Eğer en öndeki ile ortadaki kişi mavi şapkalı olsaydı en arkadaki kendisinin kırmızı olduğunu hemen söyleyebilirdi. Bilmiyorum dediğine göre en öndeki kişi ile ortadakinin aynı anda mavi şapkalar takmıyor olduklarını anlarız. Onlar da anlar. Bu bilgiyi cepte tutarak;

Ortadaki kişiye sorulduğunda eğer en öndeki kişi mavi olsaydı kendisi de mavi olamayacağından kırmızı olduğunu söylerdi. Ancak bunu söyleyemeyip bilmiyorum cevabını verdiğine göre, en öndekinin mavi olmadığını da belli etmiş oldu.

En öndeki de mavi olmadığını anladığına göre rahatlıkla kırmızı şapkayı taktığını söyleyecektir ve haklıdır da.

Bu cevaba ulaşmak pek zor olmamıştı. Sonrasında gelen soru ise şak diye cevaplanabilecek cinsten değildi:

2.Soru

Yine 3 kişi ve 2 mavi 3 kırmızı şapkamızın olduğunu ve bu 3 kişinin önceki şekilde dizildiğini düşünelim.

Şapkalar bu kişilerin kafasına rastgele şekilde konuluyor. Bu kişilere en arkadan en öne doğru tekrar şapka renklerinin ne olduğu sorulduğunda “Bilmiyorum”, “Bilmiyorum”, “Biliyorum – Kırmızıdır” deme ihtimalleri nedir? (İki adet “Bilmiyorum” cevabından sonra en öndekinin “Biliyorum – Mavidir” cevabı vermesi söz konusu değil, önceki sorunun cevabında ispatladığımız da buydu.)

Bunun cevabını bulmak bir önceki kadar kolay değil, hatta bulduğum cevabın doğruluğundan emin de değilim ancak yine de bulduğumu açıklamayı deneyeceğim:

Çözüm

Öncelikle 3 kişinin başına kırmızı veya mavi şapkalar koyarak kaç farklı diziliş elde edebileceğimizi bulmaya çalışalım. Durumları kısaltarak yazıyor olacağım. İlk harf en öndeki kişiyi, ortadaki harf ortadaki kişiyi, son harf de en arkadaki kişiyi temsil edecek şekilde:

KKK

KKM
KMK
MKK

KMM
MMK
MKM

MMM

Dikkat edilmesi gereken nokta bu durumların gerçekleşme olasılığının eşit olmayışı. Bunun nedeni ise kırmızı şapkaların mavilerin sayısından fazla olması. Yani KKM durumunun gerçekleşme ihtimali KMM durumunun gerçekleşme ihtimalinden daha yüksek. Bunu anlamakta güçlük çeken olursa, 2 mavi şapkaya karşılık 100 kırmızı şapka olduğunda KKM ve KMM durumlarının gerçekleşme ihtimallerinin ne kadar farklı olacağını düşünebilirler.

Peki ihtimaller ne?

KKK için:

(3/5)(2/4)(1/3) = 1/10

KKM veya KMK veya MKK için:

(3/5)(2/4)(2/3) = 1/5

KMM veya MMK veya MKM için:

(3/5)(2/4)(1/3) = 1/10

MMM için:

(2/5)(1/4)(0/3) = 0 (Mavi şapkalarımız 2 tane olduğundan hiçbir zaman MMM şeklinde bir dizilim olmayacak.)

Tüm durumların gerçekleşme ihtimalini saptadığımıza göre hangi durumlarda aradığımız özel şartın (“Bilmiyorum”, “Bilmiyorum”, “Biliyorum – Kırmızıdır” cevaplarını almak) geçerli olduğunu bulalım:

KKK

En arkadaki bilmiyorum diyecek, diğerleri aynı anda ikisinin birden mavi olamayacağını anlayacak.
Ortadaki bunu bilmesine rağmen önündeki mavi olmadığından o da bilmiyorum diyecek, en öndeki bulacak.

Arka: Bilmiyorum
Orta: Bilmiyorum
Ön: Kırmızı

KKM

En arkadaki bilmiyorum diyecek, diğerleri aynı anda ikisinin birden mavi olamayacağını anlayacak.
Ortadaki bunu bilmesine rağmen önündeki mavi olmadığından o da bilmiyorum diyecek, en öndeki bulacak.

Arka: Bilmiyorum
Orta: Bilmiyorum
Ön: Kırmızı

KMK

En arkadaki bilmiyorum diyecek, diğerleri aynı anda ikisinin birden mavi olamayacağını anlayacak.
Ortadaki bunu bilmesine rağmen önündeki mavi olmadığından o da bilmiyorum diyecek, en öndeki bulacak.

Arka: Bilmiyorum
Orta: Bilmiyorum
Ön: Kırmızı

MKK

En arkadaki bilmiyorum diyecek, diğerleri aynı anda ikisinin birden mavi olamayacağını anlayacak.
Ortadaki bunu bilerek önündeki mavi olduğundan kırmızı olduğunu bulacak.

Arka: Bilmiyorum
Orta: Kırmızı

KMM

En arkadaki bilmiyorum diyecek, diğerleri aynı anda ikisinin birden mavi olamayacağını anlayacak.
Ortadaki bunu bilmesine rağmen önündeki mavi olmadığından o da bilmiyorum diyecek, en öndeki bulacak.

Arka: Bilmiyorum
Orta: Bilmiyorum
Ön: Kırmızı

MMK

En arkadaki önündeki 2 kişiye bakarak kırmızı olduğunu anlayacak.
Arka: Kırmızı

MKM

En arkadaki bilmiyorum diyecek, diğerleri aynı anda ikisinin birden mavi olamayacağını anlayacak.
Ortadaki bunu bilerek önündeki mavi olduğundan kırmızı olduğunu bulacak.

Arka: Bilmiyorum
Orta: Kırmızı

Sonuç

KKK,KKM,KMK,KMM durumlarında özel şartımız gerçekleşiyor.

Tüm rastgele dizilişlerin 1/10u KKK, bunların tümünde şartımız gerçekleşiyor. Buna göre (1/10)*1 = 1/10
Tüm rastgele dizilişlerin 3/5i KKM, KMK veya MKK, bunların 2/3ünde şartımız gerçekleşiyor. Buna göre (3/5)(2/3) = 2/5
Tüm rastgele dizilişlerin 3/10u KMM, MMK veya MKM, bunların 1/3ünde şartımız gerçekleşiyor. Buna göre (3/10)(1/3) = 1/10

Şartımızın gerçekleştiği tüm durumların ihtimallerini toplarsak:

(1/10)+(2/5)+(1/10) = 60%

Also read...

Comments

  1. Pingback: Hayatta Kalmak | Demircan Çelebi

  2. Pingback: Para Atma OyunuDemircan Çelebi | Demircan Çelebi

Leave a Reply